Exercício 60, Capítulo 16, Fundamentos de Física Vol. 2: corda

Halliday & Resnick

Fundamentos de Física – 10^a Edição

Capítulo 16: Ondas-I

Exercício 60:

Enunciado:

Na Fig. 16-42, uma corda, presa a um oscilador senoidal no ponto $P$ e apoiada em um suporte no ponto $Q$, é tensionada por um bloco de massa m. A distância entre $P$ e $Q$ é $L = 1,20 \;m$, e a frequência do oscilador é $f = 120 \;Hz$. A amplitude do deslocamento do ponto $P$ é suficientemente pequena para que esse ponto seja considerado um nó. Também existe um nó no ponto $Q$. Uma onda estacionária… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.

Dados relevantes fornecidos no enunciado:

Item Único:

O exercício nos pergunta qual é a massa específica linear da corda. Primeiramente, vamos encontrar uma expressão que relaciona a massa do bloco e a ordem do harmônico da corda. Através da Equação 16-66 do capítulo, temos que:

$$
f = \frac{nv}{2L} = \frac{n}{2L}\sqrt{\frac{\tau}{\mu}} = \frac{n}{2L}\sqrt{\frac{mg}{\mu}},\;\;\;\; n=1,2,3…
\tag{1}$$

No qual usamos que $v=\sqrt{\tau/\mu}$ na segunda igualdade e que $\tau=mg$ na terceira igualdade, uma vez que o que traciona a corda é a força peso do bloco.

Agora, podemos isolar a massa na expressão acima:

$$
m = \frac{4L^2f^2\mu}{n^2g}
\tag{2}$$

Perceba então que a massa do bloco é inversamente proporcional ao quadrado do número da ordem do harmônico. Como o exercício nos diz, as duas massas que resultam em ondas estacionárias são de dois harmônicos consecutivos, digamos $n$ e $n+1$ uma vez que não é outra onda estacionária com massa entre esses dois valores. Desse modo, podemos escrever que:

$$
\frac{447}{286,1} = \frac{(n+1)^2}{n^2} = \frac{n^2+2n+1}{n^2} = 1+\frac{2n+1}{n^2}
\tag{3}$$

Ou seja, devemos encontrar um número inteiro $n$ que satisfaça:

$$
\frac{447}{286,1} – 1 = 0,56 = \frac{2n+1}{n^2} \Longrightarrow 0,56n^2 = 2n+1
\tag{4}$$

Veja que o quadrado do número multiplicado por $0,56$ deve ser um número ímpar ($2n+1$). Testando alguns valores (1,2,3…) vemos que $n=4$ é o que melhor satisfaz a expressão ($0,56(4)^2 = 8,96 \approx 9$). Agora que temos o valor de $n$, que corresponde a massa $m=0,447\;kg$, podemos voltar a Equação (2) e calcular $\mu$, que nos é pedido no exercício:

$$
\boxed{\mu = \frac{mn^2g}{4L^2f^2} = \frac{(447\;g)(4^2)(9,8\;m/s^2)}{4(1,2\;m)^2(120\;Hz)^2} = 0,845\;g/m}
\tag{5}$$